벨만-포드
벨만-포드(
bellman-ford-moore) 알고리즘은 그래프에서 최단 거리를 구하는 알고리즘이다.기능 : 특정 출발 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로 탐색
특징
음수 가중치 에지가 있어도 수행할 수 있다.
전체 그래프에서 음수 사이클의 존재 여부를 판단할 수 있다.
시간 복잡도 :
O(VE), V: 노드 수, E: 에지 수
벨만-포드 핵심 이론
에지 리스트로 그래프를 구현하고 최단 경로 리스트 초기화
벨만-포드 알고리즘은 에지를 중심으로 동작하므로 그래프를 에지 리스트로 구현한다.
최단 경로 리스트를 출발 노드는 0, 나머지 노드는 무한으로 초기화한다.
모든 에지를 확인해 정답 리스트 업데이트
최단 거리 리스트에서 업데이트 반복 횟수는
노드 개수 - 1이다.노드 개수가
N이고 음수 사이클이 없을 때 특정 두 노드의 최단 거리를 구성할 수 있는 에지의 최대 개수는N - 1이기 때문이다.모든 에지(
E = (s, e, v))에서 다음 조건을 만족하면 업데이트를 실행한다. 업데이트 반복 횟수가 K번이라면 해당 시점에 정답 리스트의 값은 시작점에서 K개의 에지를 사용했을 때 각 노드에 대한 최단 거리이다.
업데이트 조건과 방법
D[s] != ∞(무한)이며D[e] > D[s] + v일 때,D[e] = D[s] + v로 리스트의 값을 업데이트한다.
음수 사이클이 없을 때
N - 1번 에지 사용 횟수를 반복하면 출발 노드와 모든 노드 간의 최단 거리를 알려주는 정답 리스트가 완성된다. 이렇게 완성 후 마지막으로이 그래프에 음수 사이클이 존재하는지 확인해야 한다.
음수 사이클 유무 확인하기
음수 사이클 유무를 확인하기 위해 모든 에지를 한 번씩 다시 사용해 업데이트되는 노드가 발생하는지 확인한다.
만약 업데이트되는 노드가 있다면 음수 사이클이 있다는 뜻이고, 2단계에서 도출한 정답 리스트가 무의미하고 최단 거리를 찾을 수 없는 그래프라는 뜻이 된다.
음수 사이클이 존재하면 이 사이클을 무한하게 돌수록 가중치가 계속 감소하므로 최단 거리를 구할 수 없다.
실제 알고리즘 코딩 테스트에서는 벨만-포드 알고리즘을 사용해 최단 거리를 구하는 문제보다 음수 사이클을 판별하는 문제가 더 빈번하게 출제된다.
따라서 마지막에 한번 더 모든 에지를 사용해 업데이트되는 노드가 존재하는지 확인해야 한다.
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